台球中的物理原理：碰撞、旋转、摩擦与库边（附推导）
一句话版本：台球里几乎所有"手感"都来自三件事：
① 碰撞：两球质量相同、碰撞接近弹性 → 定杆能停住，分离角接近 90°；
② 摩擦与旋转：台呢的摩擦让母球从"滑"变成"滚"，让高低杆走弧线；两球之间的摩擦让慢速角度球打厚；
③ 库边：近似入射角 = 反射角，但会吃掉速度，力度和塞会改变角度。
台球常被叫作"物理课上的运动"。这不是比喻：台面上的每一个现象都能用中学学过的动量守恒、能量守恒和摩擦解释，而且懂了原理，很多口诀就不用死记——你知道它为什么成立，也就知道它什么时候不成立。
先看参数：台球是一个很"干净"的物理系统
| 物理量 | 典型数值 | 意味着什么 |
|---|---|---|
| 球径（美式、中式八球） | 57.15 毫米 | 斯诺克球小一些，52.5 毫米 |
| 球的质量 | 156–170 克，同一套球基本相同 | 等质量碰撞，速度可以整个"交出去" |
| 球与球的恢复系数 | 约 0.92–0.98 | 碰撞接近完全弹性 |
| 球与球的摩擦系数 | 约 0.03–0.08 | 很小，但足以产生几度的投掷 |
| 球与台呢的滑动摩擦系数 | 约 0.15–0.4（常取 0.2） | 决定母球多快从"滑"变成"滚" |
| 滚动阻力系数 | 约 0.005–0.015 | 比滑动摩擦小一个数量级，滚动的球能走很远 |
| 球与库边的恢复系数 | 约 0.6–0.9（随力度变化） | 每吃一库都会明显掉速 |
| 库边胶条接触点高度 | 约为球径的 63.5% | 高于球心，球被压向台面而不是跳起来 |
质量相同、碰撞接近弹性、球和球之间几乎没有摩擦——这三个条件让台球非常接近教科书里的理想模型，所以下面的推导结果在真实球台上基本成立。
碰撞一：定杆为什么能停住（动量守恒）
母球正面撞上静止的目标球。两球质量都是 m，撞前母球速度 v。设恢复系数为 e（撞后两球分开的速度 ÷ 撞前接近的速度），解动量守恒方程得到：
目标球撞后速度 = v × (1 + e) ÷ 2
完全弹性（e = 1）时，母球速度为 0，目标球拿走全部速度——这就是牛顿摆。真实台球 e 约 0.94，母球还剩 3% 的速度，目标球拿到 97%；动能损失约 6%，变成了那一声"咔"和一点热。3% 的速度肉眼看就是"停住了"。
但这里有个前提：母球在撞击那一刻只滑不转。如果它带着前旋，碰撞拿走了速度却拿不走旋转，旋转会通过台呢的摩擦重新把母球往前推——变成跟杆。这就是定杆的全部秘密：不是打某个固定的点，而是让母球撞击时恰好不转。
碰撞二：分离角为什么是 90°（能量守恒）
切球时（不是正面撞），把速度当成箭头：
- 动量守恒：撞前母球的速度箭头 = 撞后目标球的箭头 + 撞后母球的箭头。三支箭头首尾相连，组成一个三角形。
- 能量守恒（完全弹性）：v² = v₁² + v₂²。这正是勾股定理——所以这个三角形必须是直角三角形，直角在两支撞后箭头之间。
由此得到两个实用结论：
- 90° 切线定律：不转的母球撞完后，沿着和目标球去向垂直的"切线"离开（走位用法见90° 切线与 30° 规则）；
- 速度怎么分：目标球拿到 v·cos θ，母球拿到 v·sin θ。半球（30°）时目标球有 87% 的速度，母球有 50%；切得越薄，目标球越慢、母球越快——所以大角度球要加力度。各角度的完整数值见台球角度与厚薄对照表。
真实碰撞有一点能量损失，母球会保留一小段沿球心连线方向的速度，所以实际分离角略小于 90°：e = 0.94、半球时大约 87°。
旋转一：母球从"滑"到"滚"
击打母球正中心，它出杆时只滑不转。台呢的摩擦力一边让它减速，一边给它加上前旋，直到球面和台呢之间不再相对滑动——这时母球进入自然滚动。对实心球可以算出：
滑行距离 = 12 v₀² ÷ (49 μ g)
5/7 来自实心球的转动惯量（2/5 mR²）。按滑动摩擦系数 μ = 0.2 估算，中等力度（每秒约 2 米）的母球要滑大约半米才开始纯滚动，轻推（每秒 1 米）只滑十几厘米。这就解释了定杆的经验：近台打中心就能定住，远台或轻推必须偏下——给一点后旋，让它在路上正好被磨成零。
反过来，如果一开始就击打在离台面 7/10 球径的高度（球心上方 2/5 半径），母球出杆就恰好是滚动状态，不经过滑行。这个高度就是"自然滚动"击球点；高于它是强高杆，低于中心是低杆（击球点选择见台球击球点图解）。
旋转二：30° 规则和高低杆的弧线
母球带着前旋撞到目标球时，碰撞只改变它的速度，不改变它的旋转。撞完的一瞬间，母球沿切线滑出去（和定杆一样），但前旋还在往原来的方向"拧"，台呢的摩擦把它拉回原方向，路线弯成弧线，最后重新进入滚动。
把这个过程算到底（自然滚动、不计投掷），母球最终方向和原方向的夹角是：
切角 θ 从 14.5°（3/4 球）到 48.6°（1/4 球），φ 在 27° 到 34° 之间，半球附近最大约 34°——这就是"30° 规则"的来历。低杆是同一个机制反过来：后旋把母球沿弧线往回拉。高低杆的弧线不是瞬间拐弯，而是"先沿切线、再慢慢弯"，这点对走位很重要（见高杆、低杆）。
台球的弧线和空气无关。足球、乒乓球的弧线来自空气（马格努斯效应），台球速度慢、又是贴着台面滚，空气的影响可以忽略。台球所有的弧线——高低杆撞后的弧线、加塞的弧线、扎杆——都来自旋转和台呢之间的摩擦。
摩擦：慢速角度球为什么总打厚（投掷）
切球时，两球的接触面在互相滑动：母球的表面沿切线方向擦过目标球。球与球之间虽然只有 0.03–0.08 的摩擦系数，但足以把目标球往母球前进的方向"带"偏一点，这叫投掷（throw）。
- 结果是目标球实际出去的方向比几何计算的更厚，所以角度球常常"打厚"；
- 慢速时比快速时明显（摩擦随相对滑动速度变化，慢速接触时摩擦更大），半球附近最大；
- 球面脏、粉多时摩擦更大，投掷也更多；
- 加塞也会产生投掷，而适量的外塞可以让两球接触面不相对滑动，把切球投掷抵消掉。
投掷通常只有几度，但对长台角度球已经足够从进袋变成撞袋角。加塞带来的偏移、弧线和投掷见台球加塞怎么瞄准。
库边：反射、掉速和角度变化
库边的胶条接触点大约在球径的 63.5% 高度，高于球心。库边推回来的力沿着接触点指向球心，所以带一点向下的分量，把球压在台面上而不是让它跳起来。
理想情况下母球撞库是"入射角 = 反射角"，这就是翻袋和解球镜像法的依据。但真实库边有三个偏差：
- 掉速：垂直于库边方向的速度每次只剩六到九成，多库线路要把这个算进力度；
- 力度：大力时胶条压缩更深，反弹角往往变"短"（更接近垂直离开库边）；
- 塞：顺塞让反弹角变"长"，反塞变"短"——球的侧旋和库边之间的摩擦改变了沿库边方向的速度。
物理概念与台球术语对照
| 物理概念 | 台球里的表现 | 对应术语 |
|---|---|---|
| 动量守恒 + 等质量碰撞 | 直线球母球停住 | 定杆、中杆 |
| 动量守恒 + 能量守恒 | 母球和目标球垂直分开 | 90° 切线、分离角 |
| 力的分解 | 目标球沿球心连线出去，速度 v·cos θ | 切角、厚薄、假想球 |
| 滑动摩擦 + 转动惯量 | 母球从滑动变滚动，速度变为 5/7 | 自然滚动、滑行距离 |
| 角动量（旋转） | 撞后母球往前跟或往回缩，走弧线 | 高杆、低杆、30° 规则 |
| 球与球之间的摩擦 | 目标球被带偏几度 | 投掷（throw） |
| 偏心击打的反作用 | 加塞时母球出杆就偏向另一侧 | 偏移（squirt） |
| 反射定律 + 非弹性碰撞 | 吃库反弹、每库掉速 | 翻袋、解球、颗星 |
AimGeometry 的物理引擎怎么简化
我们的练习程序用的是自己写的物理引擎。为了把几何讲清楚，它刻意做了几处简化，这里如实列出：
- 碰撞：沿球心连线的冲量，恢复系数 0.94；用连续碰撞检测（CCD）算出两帧之间的精确碰撞时刻，快球不会"穿过"彼此。不模拟投掷——练的是几何，切角就是几何切角；
- 库边：严格保持入射角 = 反射角，只损失速度。这正是镜像法和钻石系统要教的理想情况；真实台上的力度、塞对反弹角的影响需要上真球台去校准；
- 高低杆：撞后的旋转效果在约 0.45 秒内逐渐作用，所以母球是"先沿切线、再弯过去"的弧线，而不是瞬间拐弯；
- 滑动与滚动：用随速度变化的减速度近似，没有逐步求解球的旋转。
换句话说：在 AimGeometry 里打进的球，在理想球台上一定能进；真实球台上还要加上投掷、库边偏差这些"修正项"。
常见问题
台球中有哪些物理原理？
主要是三类：一是碰撞，两球质量相同、碰撞接近弹性，动量守恒和能量守恒决定了定杆能停住、分离角接近 90°；二是摩擦和旋转，台呢的摩擦让母球从滑动变成滚动，也让高杆、低杆和加塞的母球走弧线，两球之间的摩擦产生投掷；三是库边反弹，近似入射角等于反射角，但会损失速度，力度和塞会改变反弹角。
定杆为什么母球会停住？
两颗台球质量相同。母球在撞击瞬间只滑不转、正面撞上目标球时，按动量守恒和接近弹性的碰撞，母球的速度几乎全部交给目标球：恢复系数约 0.94 时，母球只剩约 3% 的速度，看起来就是原地停住。
台球分离角为什么是 90 度？
两球质量相同、母球不转、碰撞完全弹性时，动量守恒要求撞前速度等于两球撞后速度的矢量和，能量守恒要求撞前速度的平方等于两者平方之和。同时满足这两条，两个撞后速度必须互相垂直——这就是 90° 切线定律。实际碰撞略有能量损失，分离角会略小于 90°。
台球为什么会走弧线？
不是空气造成的，而是球的旋转和台呢之间的摩擦。母球撞完目标球后，如果还带着前旋或后旋，旋转方向和运动方向不一致，台呢的摩擦力会把母球慢慢拉向旋转的方向，于是路线弯成弧线；扎杆（立杆加塞）也是同样的道理。
台球中有哪些几何知识？
最常用的是切角和厚薄的换算（重叠比例 = 1 − sin 切角）、瞄准假想球、90° 切线和 30° 滚动方向，以及翻袋和解球用的镜像法（以离库边一个球半径的球心线为镜）。这些几何关系都以上面的物理规律为前提，详见台球瞄准方法。
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球径、质量与库边高度依据 WPA 器材规格；恢复系数和摩擦系数为台球物理文献中常见的测量范围（如 David Alciatore 整理的典型数值），不同球、台呢和湿度下会有差别。推导均按理想刚体球、不计投掷和皮头摩擦损失。本文不含推广或联盟链接。